顺序信号更新与条件期望塔性质

一位量化研究员认为某方向性信号的准确率 $p$ 为 $\frac{1}{3}$ 或 $\frac{2}{3}$，先验等概率。每天信号在给定 $p$ 后独立地预测市场方向，正确概率为 $p$。

(a) 第一天信号正确。求后验 $P\!\left(p = \tfrac{2}{3} \mid C_1\right)$。

(b) 第二天信号错误。从第一天的后验出发，求更新后的 $P\!\left(p = \tfrac{2}{3} \mid C_1, W_2\right)$。

(c) 验证条件期望的塔性质：证明 $E[p] = E\!\left[\,E[p \mid D_1]\,\right]$，其中 $D_1 \in \{C_1, W_1\}$ 为第一天的结果。显式计算所有量。