噪声信号检测与证据阈值

隐藏信号 $S$ 等概率取 $+1$ 或 $-1$。每步收到一个噪声读数：若 $S=+1$，读数为 $+1$ 的概率为 $\frac{2}{3}$、为 $-1$ 的概率为 $\frac{1}{3}$；若 $S=-1$，读数为 $-1$ 的概率为 $\frac{2}{3}$、为 $+1$ 的概率为 $\frac{1}{3}$。给定 $S$ 后各读数条件独立。

(a) 观测到序列 $(+1,+1,-1)$，求后验概率 $P(S=+1 \mid \text{观测})$。

(b) 从均匀先验出发，至少连续观测到多少个 $+1$ 读数才能使 $P(S=+1) > 0.95$？