条件独立在边际化下失效

随机选一枚硬币：以概率 $1/2$ 选到公平硬币（$p = 1/2$），以概率 $1/2$ 选到偏硬币（$p = 1$，总是正面）。设 $A$ 为第一次掷出正面，$B$ 为第二次掷出正面。证明给定硬币类型 $C$ 时 $A$ 和 $B$ 条件独立，但 $A$ 和 $B$ 并非边际独立。计算 $P(B \mid A)$。