独立变量的函数未必独立于其输入

设 $X$ 和 $Y$ 为独立的 $\text{Bernoulli}(1/2)$ 随机变量。定义 $W = \max(X, Y)$。(a) 求 $W$ 的分布。(b) 通过检验所有联合概率 $P(X = x, W = w)$（$x, w \in \{0, 1\}$）判断 $X$ 和 $W$ 是否独立。