两两独立且三元独立但四事件非相互独立

设 $\Omega$ 为所有含偶数个 $1$ 的长度为 $4$ 的二进制串，等概率： $$\Omega = \{0000,\, 0011,\, 0101,\, 0110,\, 1001,\, 1010,\, 1100,\, 1111\}.$$ 定义事件 $A_i = \{\omega \in \Omega : \omega_i = 1\}$，$i=1,2,3,4$。

(a) 证明每个 $P(A_i) = 1/2$。

(b) 验证所有两两独立：对所有 $i \neq j$，$P(A_i \cap A_j) = 1/4$。

(c) 验证所有三元独立：对所有不同的 $i,j,k$，$P(A_i \cap A_j \cap A_k) = 1/8$。

(d) 计算 $P(A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap A_4)$ 并与 $P(A_1)P(A_2)P(A_3)P(A_4)$ 比较。四个事件是否相互独立？