校验位破坏四阶独立性

设 $\Omega = \{0,\ldots,15\}$（4位二进制串），等概率。定义 $A_i = \{b_i = 1\}$（$i=1,2,3$），$A_4 = \{b_1 \oplus b_2 \oplus b_3 = 1\}$。(a) 证明每个 $P(A_i) = 1/2$。(b) 证明 $\{A_1,A_2,A_3,A_4\}$ 是 3-wise 独立的。(c) 计算 $P(A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap A_4)$，说明 4-wise 独立性失败。(d) 解释校验位为何在结构上受限于 $A_1,A_2,A_3$。