随机排列的不动点不是独立的

从 $\{1,2,3,4\}$ 的全排列中等概率选取 $\sigma$。定义 $A_i = \{\sigma(i) = i\}$。(a) 证明 $P(A_i) = 1/4$，$P(A_i \cap A_j) = 1/12$。(b) $A_i$ 与 $A_j$ 是否独立？(c) 计算三元和四元交集概率。(d) 验证容斥恒等式 $P(\bigcup A_i) = 1 - 1/2! + 1/3! - 1/4!$。