双信封悖论

两个信封各装有一笔正数金额，其中一个恰好是另一个的两倍。你随机选一个信封，打开发现里面有 $x$ 元。朴素论证如下：另一个信封等可能是 $2x$ 或 $x/2$，因此换信封的期望值为 $(1/2)(2x) + (1/2)(x/2) = 5x/4 > x$，应该总是换——但这导致无限来回切换的荒谬结论。(a) 精确指出朴素论证中的谬误。(b) 假设较小金额 $S$ 服从某个已知的真概率分布且 $E[S] = \mu < \infty$，证明无条件换信封的期望收益为零。(c) 解释为什么条件于观察到 $x$ 时，对于某些 $x$ 值换信封是理性的，而对于另一些 $x$ 值则不是。