圣彼得堡悖论

赌场提供以下游戏：反复抛掷公平硬币直到第一次出现反面。如果第 $n$ 次出现第一个反面，你赢得 $2^n$ 美元。(a) 计算游戏的期望收益。(b) 尽管(a)的答案如此，大多数人只愿支付约20美元来玩。用Daniel Bernoulli的方法解决这个悖论：假设玩家具有对数效用 $u(x) = \ln(x)$ 和初始财富 $W$。计算游戏的期望效用，并求 $W = 1{,}000{,}000$ 时的确定性等价额。(c) 更实际的解决方案：假设赌场总资本有限为 $C$。若赔付上限为 $C = 2^{40}$（约1万亿美元），期望收益是多少？