波雷尔悖论：对零测集事件的条件化

设 $(\Theta, \Phi)$ 在单位球面 $S^2$ 上均匀分布，其中 $\Theta \in [0, 2\pi)$ 为经度，$\Phi \in [0, \pi]$ 为余纬度，联合密度为 $f(\theta, \phi) = \frac{1}{4\pi} \sin \phi$。

(a) 以 $\Theta$ 为条件变量，计算 $\Phi$ 在 $\Theta = 0$ 条件下的条件分布（即 $f(\phi \mid \theta = 0)$）。

(b) 重新参数化：令 $X = \cos(\Theta) \sin(\Phi)$，$Y = \sin(\Theta) \sin(\Phi)$，$Z = \cos(\Phi)$。大圆 $\{\Theta = 0\}$ 等价于 $\{Y = 0, X \geq 0\}$。计算 $\Phi$ 在 $Y = 0$ 且 $X > 0$ 条件下的条件分布。与(a)的结果相同吗？

(c) 解释两个答案为何不同。这对'对零测集事件条件化'的含义有何启示？解决这一歧义的正确数学框架是什么？