生日碰撞对数的方差

延续期望碰撞对数的设定：$n$ 人的生日独立均匀分布在 $\{1,\ldots,d\}$ 上。定义 $X = \sum_{i<j} \mathbf{1}[B_i = B_j]$。

(a) 计算 $\operatorname{Var}(X)$。

(b) 一个令人意外的中间步骤：证明对不同的 $i,j,k$，$\operatorname{Cov}(\mathbf{1}[B_i = B_j],\, \mathbf{1}[B_j = B_k]) = 0$，即使两个指示变量共享指标 $j$。直观解释为什么协方差为零。

(c) 当 $d = 365$、$n = 28$ 时，数值计算 $\operatorname{Var}(X)$ 并给出变异系数 $\sigma_X / E[X]$。