非均匀生日分布增加碰撞概率

假设 $d$ 天的生日概率为 $p_1, p_2, \ldots, p_d$，$\sum_j p_j = 1$（不一定均匀）。$n$ 人的生日独立取自该分布。

(a) 证明当 $n = 2$ 时，$P(\text{碰撞}) = \sum_{j=1}^{d} p_j^2 \ge \frac{1}{d}$，等号当且仅当所有 $p_j = \frac{1}{d}$ 时成立。

(b) 由此推出均匀分布使碰撞概率最小化。用一句话直观解释为什么非均匀性会增加碰撞。