三人同天生日的碰撞阈值

房间里有 $n$ 人，生日均匀分布在 $\{1,\ldots,365\}$ 上。令 $A$ 为至少三人同天生日的事件。

(a) 利用 Poisson 近似（将每天的人数建模为独立的 $\text{Poisson}(n/365)$ 变量），导出 $P(A)$ 的近似公式。

(b) 在该近似下，求使 $P(A) \ge \frac{1}{2}$ 的最小 $n$。