不同生日数的期望与方差

在 $n$ 人的生日独立均匀分布于 $\{1, \ldots, d\}$ 的设定下，令 $D$ 为观察到的不同生日天数。

(a) 用指示随机变量推导 $E[D]$。

(b) 推导 $\operatorname{Var}(D)$。需要计算 $P(\text{第 } j \text{ 天和第 } k \text{ 天均有人})$（$j \ne k$）。

(c) 当 $n = 100$、$d = 365$ 时，计算 $E[D]$、$\operatorname{Var}(D)$ 以及期望的「碰撞人数」$n - D$。

(d) $E[n - D]$ 与指示对方法得到的期望碰撞对数 $\binom{n}{2}/d$ 是否相同？解释两者的区别。