Pareto 尾部指数的极大似然估计

设大额执行滑点的绝对值服从已知尺度 $x_m=1$、未知尾指数 $\alpha$ 的 Pareto 分布，其密度为 $$f(x)=\alpha x^{-\alpha-1}, \qquad x\ge 1.$$ 若 $n=8$ 个观测满足 $$\sum_{i=1}^8 \log X_i = 12,$$ 请先求 $\alpha$ 的极大似然估计，再估计拟合模型下 $P(X>10)$。