用指示变量求超几何分布的均值与方差

一个箱中有20个球：8红12蓝。不放回地抽取5个球，令 $X$ 为抽到的红球数。定义指示变量 $X_i = \mathbf{1}\{\text{第 } i \text{ 次抽到红球}\}$（$i = 1, \ldots, 5$）。

(a) 用期望的线性性求 $E[X]$。

(b) 计算 $i \ne j$ 时的 $\text{Cov}(X_i, X_j)$，并由此推导 $\text{Var}(X)$。

(c) 验证当 $N \to \infty$ 且 $K/N \to p$ 时，你的方差公式退化为二项分布方差 $np(1-p)$。