从第一性原理推导负二项分布的概率质量函数

设 $X$ 为恰好累积 $r$ 次成功所需的独立 Bernoulli($p$) 试验次数。

(a) 通过分析直到第 $X$ 次试验的结果序列结构，推导 $P(X = k)$（$k = r, r+1, r+2, \ldots$）。

(b) 利用负二项级数 $(1-x)^{-r} = \sum_{j=0}^{\infty} \binom{r+j-1}{j} x^j$（$|x| < 1$）验证你的 PMF 之和为1。

(c) 当 $r = 3$，$p = 1/2$ 时，计算 $P(X = 7)$。