多项分布的协方差与条件分布

掷一个公平骰子 $n = 60$ 次。令 $X_i$ 为面 $i$ 出现的次数（$i = 1, \ldots, 6$），则 $(X_1, \ldots, X_6) \sim \text{Multinomial}(60, 1/6, \ldots, 1/6)$。

(a) 用指示变量计算 $\text{Cov}(X_1, X_2)$。

(b) 求相关系数 $\rho(X_1, X_2)$。

(c) 确定在 $X_1 = 12$ 条件下 $(X_2, X_3, X_4, X_5, X_6)$ 的条件分布，并求 $E[X_2 \mid X_1 = 12]$。