二项和分量的条件分布

设 $X \sim \text{Binomial}(m, p)$，$Y \sim \text{Binomial}(n, p)$，且 $X, Y$ 独立。

(a) $S = X + Y$ 的分布是什么？说明理由。

(b) 推导条件 PMF $P(X = k \mid S = s)$。

(c) 指出该条件分布的名称和参数。解释为什么 $p$ 在条件分布中消失了。

(d) 用数值例子验证：$m = 10$，$n = 15$，$p = 0.4$。计算 $P(X = 3 \mid S = 8)$。