泊松稀释与分流独立性

设 $N \sim \text{Poisson}(\lambda)$。每个事件独立地以概率 $p$ 被分为第1类，以概率 $1-p$ 被分为第2类。令 $N_1, N_2$ 分别为两类事件的计数。

(a) 推导 $N_1$ 的边际分布。

(b) 推导联合 PMF $P(N_1 = j, N_2 = k)$，并证明 $N_1$ 与 $N_2$ 独立。

(c) 某网站每小时页面浏览量为 $\lambda = 200$。每位访客独立地以概率 $p = 0.03$ 转化（购买）。求一小时内恰好有4次转化的概率，以及在总浏览量不超过210的条件下至少有1次转化的概率。