通过概率母函数求骰子总和的分布

设 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 为公平 $d$ 面骰子的独立掷骰结果，每个 $X_i$ 均匀分布于 $\{1, 2, \ldots, d\}$。令 $S_n = X_1 + \cdots + X_n$。

(a) 推导 $G_{X_1}(s) = E[s^{X_1}]$ 的闭式表达式。

(b) 写出 $S_n$ 的 PGF 并由此推导 $E[S_n]$ 和 $\text{Var}(S_n)$。

(c) 对于 $n = 3$ 个公平六面骰子（$d = 6$），用 PGF 求 $P(S_3 = 10)$。

(d) 解释系数提取方法与经典的隔板法加容斥原理之间的联系。