离散均匀分布的均值与方差

设 $X$ 在 $\{1, 2, \ldots, n\}$ 上均匀分布，即 $P(X = k) = 1/n$。

(a) 推导 $E[X]$ 的闭式表达式。

(b) 利用 $\sum_{k=1}^{n} k^2 = n(n+1)(2n+1)/6$ 推导 $E[X^2]$。

(c) 求 $\text{Var}(X)$。

(d) 对公平六面骰子（$n=6$）给出数值结果。