负二项分布作为泊松–伽马混合

设 $\Lambda \sim \text{Gamma}(r, \beta)$，密度为 $f_\Lambda(\lambda) = \frac{\beta^r}{\Gamma(r)} \lambda^{r-1} e^{-\beta\lambda}$，且 $X \mid \Lambda = \lambda \sim \text{Poisson}(\lambda)$。

(a) 写出 $P(X=k \mid \Lambda=\lambda)$，并通过对 $\Lambda$ 积分计算边际 PMF $P(X=k)$。

(b) 证明 $P(X=k) = \binom{k+r-1}{k} p^k(1-p)^r$（$p=1/(1+\beta)$），并识别此分布。

(c) 利用全期望和全方差公式求 $E[X]$ 和 $\text{Var}(X)$。

(d) 验证：$r=3$，$\beta=4$，计算 $P(X=2)$ 和 $E[X]$。