通过几何等待时间求解赠券收集问题

麦片盒中含有 $n$ 种等概率的赠券之一。你逐盒购买，每次独立。设 $T$ 为集齐所有 $n$ 种赠券所需的盒数。

(a) 定义 $T_i$ 为从已有 $i-1$ 种到获得第 $i$ 种所需的额外盒数。$T_i$ 服从什么分布？

(b) 用 $T_1, \ldots, T_n$ 表达 $T$，并利用期望的线性性推导 $E[T]$。

(c) 证明 $E[T] = n H_n$。

(d) 计算 $n = 10$ 时的 $E[T]$。

(e) 利用 $T_1, \ldots, T_n$ 的独立性推导 $\text{Var}(T)$。