独立几何随机变量最大值的分布

设 $X_1, \ldots, X_n$ 独立同分布 $\text{Geometric}(p)$，$P(X_i=k)=(1-p)^{k-1}p$。令 $M = \max(X_1, \ldots, X_n)$。

(a) 证明 $P(M \le m) = [1-(1-p)^m]^n$。

(b) 推导 $P(M = m)$。

(c) 利用尾和公式表达 $E[M]$ 为无穷级数。

(d) $n=2$，$p=1/2$ 时，计算 $P(M=1), P(M=2), P(M=3)$ 并精确求 $E[M]$。

(e) 对一般 $n$ 和小 $p$，启发式论证 $E[M] \approx (\ln n)/p$。