通过特征函数证明二项分布的泊松极限

设 $X_n \sim \text{Binomial}(n, \lambda/n)$，$\lambda > 0$ 固定。

(a) 写出 $\varphi_{X_n}(t)$ 的闭式。

(b) 证明 $\lim_{n\to\infty} \varphi_{X_n}(t) = e^{\lambda(e^{it}-1)}$。

(c) 识别极限特征函数并陈述依分布收敛的结论。

(d) 说明为什么特征函数逐点收敛蕴含依分布收敛（引用相关定理）。

(e) $\lambda=5$，$n=100$ 时，用精确二项和泊松近似分别计算 $P(X_n=3)$，求相对误差。