伯努利分布：矩与矩母函数

设 $X \sim \text{Bernoulli}(p)$，即 $P(X=1)=p$，$P(X=0)=1-p$，其中 $0<p<1$。

(a) 直接由 PMF 计算 $E[X]$ 和 $E[X^2]$，进而求 $\text{Var}(X)$。

(b) 推导矩母函数 $M_X(t)=E[e^{tX}]$，并验证 $M_X'(0)=E[X]$，$M_X''(0)=E[X^2]$。

(c) 证明 $\text{Var}(X)=p(1-p) \le 1/4$，并找到使方差最大的 $p$ 值。

(d) 若 $S=\sum_{i=1}^n X_i$，$X_i$ 独立同分布 $\text{Bernoulli}(p)$，利用 MGF 证明 $S \sim \text{Binomial}(n,p)$。