两个独立泊松随机变量的卷积

设 $X \sim \text{Poisson}(2)$，$Y \sim \text{Poisson}(3)$，且 $X$、$Y$ 独立。

(a) 用卷积公式 $P(X+Y=k)=\sum_{j=0}^{k} P(X=j)P(Y=k-j)$ 计算 $P(X+Y=3)$。

(b) 利用 $X+Y \sim \text{Poisson}(5)$ 验证你的答案。

(c) 计算 $P(X=1 \mid X+Y=3)$。