零截断泊松分布

零截断泊松分布出现在观测到泊松过程至少发生一次事件时。设 $Y \sim \text{Poisson}(\lambda)$，$\lambda > 0$，定义 $X = (Y \mid Y \ge 1)$。

(a) 推导 $X$ 的 PMF，证明 $P(X=k) = \frac{\lambda^k}{k!(e^\lambda-1)}$，$k=1,2,3,\ldots$，并验证其和为 1。

(b) 通过截断关系求 $E[X]$，证明 $E[X] = \frac{\lambda}{1-e^{-\lambda}}$。

(c) 利用 $\text{Var}(X) = E[X^2]-(E[X])^2$ 推导 $\text{Var}(X)$。

(d) 当 $\lambda=0.5$ 时，数值计算 $P(X=1)$、$E[X]$、$\text{Var}(X)$。