复合泊松分布：矩母函数与矩

设 $N \sim \text{Poisson}(\lambda)$，$X_1, X_2, \ldots$ 独立同分布（与 $N$ 独立），MGF 为 $M_X(t)$。定义复合泊松和 $S = \sum_{i=1}^{N} X_i$（$N=0$ 时 $S=0$）。

(a) 推导 $S$ 的 MGF，证明 $M_S(t) = \exp(\lambda(M_X(t)-1))$。

(b) 用 MGF 推导 $E[S]$ 和 $\text{Var}(S)$。

(c) 用全期望公式和全方差公式重新推导。

(d) 保险公司每天收到 $\lambda=10$ 件理赔，每件金额为 $1000$ 元（概率 $0.6$）或 $5000$ 元（概率 $0.4$）。求每日总理赔额 $S$ 的期望、方差和标准差。