独立几何随机变量的最小值

设 $X_1, \ldots, X_n$ 独立，$X_i \sim \text{Geometric}(p_i)$（首次成功所需试验次数），定义 $M = \min(X_1, \ldots, X_n)$。

(a) 证明 $P(M > k) = \prod_{i=1}^n (1-p_i)^k$。

(b) 证明 $M \sim \text{Geometric}(1-\prod(1-p_i))$。

(c) iid 情形：求 $E[M]$ 和 $\text{Var}(M)$，验证 $n \to \infty$ 时 $E[M] \to 1$。

(d) 五个独立交易员每天成交概率 $0.3$，求首次成交的期望天数和前 3 天无成交的概率。

(e) 证明 $P(X_j=M \mid M=m)$ 依赖于 $j$，对 $n=2$, $p_1=0.3$, $p_2=0.5$, $m=2$ 计算。