伽马分布的矩生成函数

设 $X \sim \text{Gamma}(\alpha, \lambda)$，其概率密度函数为 $f(x) = \frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\lambda x}$（$x > 0$）。推导矩生成函数 $M_X(t) = E[e^{tX}]$（$t < \lambda$），再由 $M_X(t)$ 计算 $E[X]$ 和 $\text{Var}(X)$。