贝塔分布：推导、矩与联系

考虑 Beta 分布，其 PDF 为 $f(x) = \frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}$（$x \in (0,1)$）。

(a) 利用 Gamma 函数的积分表示，验证 $\int_0^1 x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}\,dx = \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$，从而证明 $f$ 积分为 1。

(b) 推导 $E[X] = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}$ 和 $\text{Var}(X) = \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}$。

(c) 证明 $\text{Beta}(1,1)$ 退化为 $\text{Uniform}(0,1)$。

(d) 若 $Y_1 \sim \text{Gamma}(\alpha,1)$、$Y_2 \sim \text{Gamma}(\beta,1)$ 独立，说明为何 $\frac{Y_1}{Y_1+Y_2} \sim \text{Beta}(\alpha,\beta)$（无需完整证明）。