从第一性原理推导卡方分布

设 $Z_1, \ldots, Z_n$ 为 i.i.d. $N(0,1)$ 随机变量，定义 $Q = \sum_{i=1}^n Z_i^2$。

(a) 利用连续随机变量的变量替换法，推导 $Z_1^2$ 的 PDF。

(b) 将 (a) 的结果与 Gamma 族匹配，证明 $Z_1^2 \sim \text{Gamma}\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$。

(c) 利用相同速率参数的独立 Gamma 随机变量之和仍为 Gamma 的性质，写出 $Q$ 的分布。

(d) 推导 $E[Q]$ 和 $\text{Var}(Q)$。