通过积分推导 Gamma 分布的均值与方差

设 $X \sim \text{Gamma}(\alpha, \lambda)$，其 PDF 为 $f(x) = \frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\lambda x}$（$x > 0$）。

(a) 利用 $\int_0^\infty \frac{\lambda^\beta}{\Gamma(\beta)} x^{\beta-1} e^{-\lambda x}\,dx = 1$ 的事实，通过直接积分推导 $E[X]$。

(b) 类似地推导 $E[X^2]$ 并计算 $\text{Var}(X)$。