两个独立标准正态之比服从柯西分布

设 $Z_1, Z_2$ 独立，均服从 $N(0,1)$。定义 $R = Z_1/Z_2$。

(a) 写出 $(Z_1, Z_2)$ 的联合 PDF，利用变换 $(Z_1, Z_2) \mapsto (R, Z_2) = (Z_1/Z_2,\, Z_2)$ 推导 $(R, Z_2)$ 的联合 PDF。

(b) 对 $Z_2$ 积分，得到 $R$ 的边际 PDF。

(c) 辨认 $R$ 的分布。