从独立 Gamma 随机变量推导 Beta 分布与 Beta 函数

设 $X \sim \text{Gamma}(\alpha, 1)$，$Y \sim \text{Gamma}(\beta, 1)$ 独立。

(a) 定义 $U = \frac{X}{X+Y}$，$V = X+Y$。计算变换 $(X,Y) \mapsto (U,V)$ 的雅可比行列式。

(b) 推导 $(U,V)$ 的联合 PDF，并证明 $U$ 与 $V$ 独立。

(c) 识别 $U$ 的边际分布，并证明 $B(\alpha,\beta) = \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$。