帕累托分布的尾概率与条件期望

帕累托分布的形状参数 $\alpha > 0$、尺度参数 $x_m > 0$，其 PDF 为 $$f(x) = \frac{\alpha\, x_m^\alpha}{x^{\alpha+1}}, \quad x \geq x_m.$$

(a) 推导 $t \geq x_m$ 时的 $P(X > t)$。

(b) 推导 $\alpha > 1$，$t \geq x_m$ 时的 $E[X \mid X > t]$。

(c) 当 $\alpha = 3$，$x_m = 1$，$t = 2$ 时计算以上两个量。