两个独立均匀分布之和的分布

设 $X$ 和 $Y$ 独立，均服从 $\text{Uniform}(0,1)$。定义 $S = X + Y$。

(a) 利用卷积公式 $f_S(s) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(t) f_Y(s-t) dt$ 推导 $S$ 在所有 $s \in \mathbb{R}$ 上的 PDF。

(b) 画出 PDF 的草图并说明该分布的名称。

(c) 计算 $P(S > 1.5)$。