指数分布的逆变换抽样法

设 $U \sim \text{Uniform}(0,1)$。

(a) 对于具有严格递增 CDF $F$ 的连续随机变量 $X$，证明 $F(X) \sim \text{Uniform}(0,1)$。

(b) 利用 (a) 的结论，论证 $X = F^{-1}(U)$ 的 CDF 为 $F$。

(c) 对 $X \sim \text{Exp}(\lambda)$，其 CDF 为 $F(x) = 1 - e^{-\lambda x}$（$x \geq 0$），显式推导 $F^{-1}$，并写出由均匀样本生成指数样本的公式。