通过变量替换推导标准正态平方的分布

设 $X \sim N(0,1)$。

(a) 变换 $Y = X^2$ 不是单调的。用 CDF 方法，先计算 $F_Y(y) = P(X^2 \leq y)$，再求导得到 $f_Y(y)$。

(b) 用非单调变量替换公式验证结果：当 $Y = g(X)$ 有两个分支 $x_1(y), x_2(y)$ 时，$f_Y(y) = \sum_{i=1}^2 f_X(x_i(y)) |dx_i/dy|$。

(c) 辨认所得分布，并表示为 Gamma 分布。