正态分布的最大熵性质

连续随机变量 $X$（PDF 为 $f$）的微分熵为 $h(X) = -\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \ln f(x)\, dx$。

(a) 在所有均值为 $\mu$、方差为 $\sigma^2$ 的 $\mathbb{R}$ 上连续分布中，用拉格朗日乘数法说明最大化 $h(X)$ 的 PDF 满足 $\ln f(x) = -1 + \lambda_0 + \lambda_1 x + \lambda_2 x^2$。

(b) 利用三个约束条件确定 $\lambda_0, \lambda_1, \lambda_2$，证明 $f$ 为 $N(\mu, \sigma^2)$ 的 PDF。

(c) 计算 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ 的 $h(X)$。