由独立正态推导瑞利分布

设 $X$ 和 $Y$ 独立，均服从 $N(0, \sigma^2)$。定义 $R = \sqrt{X^2 + Y^2}$。

(a) 用 CDF 方法推导 $R$ 在 $r \geq 0$ 上的 PDF。

(b) 指出该分布的名称并计算 $E[R]$。

(c) 当 $\sigma = 1$ 时，数值计算 $E[R]$ 和 $\text{Var}(R)$。