作为泊松过程等待时间的 Erlang 分布

到达过程服从速率为 $\lambda > 0$ 的泊松过程。设 $T_k$ 为第 $k$ 次到达的时刻。

(a) 利用 $P(T_k > t) = P(N(t) < k)$（其中 $N(t) \sim \text{Poisson}(\lambda t)$），写出 $T_k$ 的 CDF 并求导得到 PDF。

(b) 指出该分布的名称，给出均值和方差。

(c) 当 $\lambda = 1$，$k = 3$ 时，精确计算 $P(T_3 > 2)$。