高斯混合的均值、方差与双峰性

随机变量 $X$ 服从两个正态的混合分布：以概率 $p$ 从 $N(\mu_1, \sigma_1^2)$ 抽样，以概率 $1-p$ 从 $N(\mu_2, \sigma_2^2)$ 抽样。

(a) 用 $p, \mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2$ 表达 $E[X]$ 和 $\text{Var}(X)$。

(b) 在对称情形（$p = 1/2$，$\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma$）下，证明混合 PDF 为双峰当且仅当 $|\mu_1 - \mu_2| > 2\sigma$。

(c) 当 $p = 1/2$，$\mu_1 = -2$，$\mu_2 = 2$，$\sigma = 1$ 时计算 $E[X]$ 和 $\text{Var}(X)$，并验证双峰性。