折叠正态分布：|X| 的 PDF 与矩

设 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$\mu \geq 0$。定义 $Y = |X|$。

(a) 推导 $Y$ 在 $y \geq 0$ 上的 PDF。

(b) 证明 $\mu = 0$ 时 PDF 化简为半正态分布。

(c) 对一般的 $\mu, \sigma$，用 $\phi$ 和 $\Phi$ 表示 $E[Y]$ 和 $\text{Var}(Y)$。

(d) 当 $\mu = 1$，$\sigma = 1$ 时数值计算 $E[Y]$ 和 $\text{Var}(Y)$。