全支付竞赛中的盈亏平衡投入

两名水平相当的量化研究员参加一场全支付竞赛，奖品价值为 $V$。若某人投入努力 $e$，对手投入 $e_0$，则该人的胜率为 $e/(e+e_0)$，并且无论输赢都要支付自己的努力成本。把 $e_0$ 视为固定，写出投入 $e$ 的收益，并解出定义盈亏平衡努力的方程。