几何批量大小的复合泊松

设 $N\sim\mathrm{Poisson}(2)$，并在给定 $N$ 的条件下定义 \[ S=\sum_{i=1}^N B_i, \] 其中 $B_i$ 独立同分布，且服从取值于 $\{1,2,\dots\}$ 的几何分布，参数为 $1/2$，即 $P(B_i=k)=2^{-k}$。求 $S$ 的 PGF，并计算 $E[S]$。