二项个数的交易批次

设 $N\sim\mathrm{Binomial}(5,0.4)$。在给定 $N$ 的条件下，定义 \[ S=\sum_{i=1}^N B_i, \] 其中每个批次大小 $B_i$ 的 PGF 为 $H(s)=0.5+0.3s+0.2s^2$。求 $S$ 的 PGF 并计算 $E[S]$。