几何计数之和

设 $X_1,\dots,X_r$ 独立同分布，且都服从定义在 $\{0,1,2,\dots\}$ 上的几何分布 \[ P(X_i=k)=p(1-p)^k. \] 用 PGF 识别 $S=X_1+\cdots+X_r$ 的分布，并计算 $E[S]$。